Tyto rumy vznikly na počest dánského lékárníka Alberta Heinricha Riise, kterému dánská vláda udělila v roce 1838 privilegované monopolní právo provozovat na ostrově St. Thomas lékárnu a destilovat zde alkohol, zejména jeho vynález: bylinný rum (tzv. Distilled Bay Rum). Riise procestoval celý Karibik, kde zkoumal exotické byliny i způsoby jejich využití a mixování. Rumy A.H. Riise prodávané v zajímavých lahvích si dodnes ve své kvalitní a silné chuti uchovávají původní jedinečnou recepturu a tradiční postupy výroby.